LATE y variables instrumentales

.title[
# Clase 10. LATE y variables instrumentales
]
.subtitle[
## Evaluación de Programas
]
.author[
### Irvin Rojas <br> [rojasirvin.com](https://www.rojasirvin.com/) <br> [<i class="fab fa-github"></i>](https://github.com/rojasirvin) [<i class="fab fa-twitter"></i>](https://twitter.com/RojasIrvin) [<i class="ai ai-google-scholar"></i>](https://scholar.google.com/citations?user=FUwdSTMAAAAJ&hl=en)
]

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# Agenda

1. Introduciremos problemas de evaluación cuando hay cumplimiento imperfecto

1. Derivaremos e interpretaremos el estimador de efecto local promedio de tratamiento (LATE)

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# Cumplimiento no perfecto

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# ¿Fracasó el experimento?

- Frecuentemente nos encontraremos con intervenciones donde la aleatorización ocurre de manera íntegra, pero no todos aquellos asignados a cierto tratamiento efectivamente lo reciben

- Nos tomaremos en serio la diferencia entre **ser asignado** al tratamiento y **recibir el tratamiento**

- Al evaluar un programa que asigna aleatoriamente a niños a escuelas de prestigio, nos interesa el efecto de efectivamente asistir a dichas escuelas y, quizás no tanto, el efecto de haber sido sorteado para asistir a dichas escuelas

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# ¿Fracasó el experimento?

- Usaremos un estimador de variables instrumentales (VI) para relacionar los efectos de la **asignación** con los efectos de la **adopción**

- Llegaremos al siguiente resultado:

`$$\text{Efecto de la asignación en } Y=(\text{Efecto de la asignación en la adopción})\times (\text{Efecto de la adopción en }Y)$$`

- Por tanto:

`$$\text{Efecto de la adopción en }Y=\frac{\text{Efecto de la asignación en }Y}{\text{Efecto de las asignación en la adopción}}$$`

- Ahora derivaremos formalmente este resultado, pero la intución es importante: el efecto causal de la adopción es el efecto de la asignación, *escalado* por el efecto de la asignación en la adopción

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# Efectos causales con cumplimiento imperfecto

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# Identificación de efectos causales usando VI

- Angrist, Imbens & Rubin (1996)

- Asignación: `$Z_i=\begin{cases} 1 \\0 \\ \end{cases}$`

- Cumplimiento: `$D_i=\begin{cases} 1 \\0 \\ \end{cases}$`

- `$Y_i$` variable de resultados

- Nos importa el efecto de `$D_i$` sobre `$Y_i$`

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# Efectos causales y VI

- `$D_i(Z)$` es el indicador de cumplir, dada la asignación `$Z$`

- Con cumplimiento perfecto tendríamos `$D_i(Z)=Z_i$`

- En general, hay asignados que no cumplen y no asignados que cumplen

- `$Y_i(Z,D)$` es la variable de interés de `$i$`

- `$Y_i(Z,D)$` y `$D_i(Z)$` son resultados potenciales

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# Supuestos

**Supuesto 1**: *Stable Unit Treatment Value Assumption (SUTVA)*

- Este supuesto indica que los resultados potenciales de `$i$` no están correlacionados con los de los otros individuos

- Por tanto podemos escribir `$Y_i(Z,D)=Y_i(Z_i,D_i)$` y `$D_i(Z)=D_i(Z_i)$`

**Supuesto 2**: asignación aleatoria

- La asignación de `$Z_i$` es aleatoria, es decir, `$P(Z=C)=P(Z=C')$` para todo `$C$` y `$C'$`

- Los supuestos 1 y 2 nos permiten identificar los efectos causales de `$Z$` en `$Y$` y de `$Z$` en `$D$` calculando diferencias de medias por grupos de `$Z$`:

- `$ITT_Y$` comparar las medias de `$y$` entre quienes `$Z=1$` y quienes `$Z=0$`
  
  - `$ITT_D$` comparar las medias de `$D$` entre quienes `$Z=1$` y quienes `$Z=0$`
  
- `$ITT$` se conoce como **intención a tratar** o **intention to treat**

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# Parada para reflexionar

- Hasta ahora el supuesto crítico es la asignación aleatoria de `$Z$`

- `$D_i$` puede no serlo y, en general, no lo es

- Por tanto, una comparación de `$y$` entre grupos de `$D$` es inapropiada

- Necesitamos algunos supuestos para decir algo del efecto causal de `$D$` sobre `$Y$`

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# Más supuestos

**Supuesto 3**: restricción de exclusión

`$$Y(Z,D)=Y(Z',D)\quad \forall \quad Z,Z',D$$`

- Este supuesto implica que podemos escribir:

`$$Y_i(1,d)=Y_i(0,d) \quad d=\{0,1\}$$`
- Es decir, resuleve el problema contrafactual

- Con el supuesto 3 podemos escribir:

`$$Y(D)=Y(Z,D)=Y(Z',D)\quad \forall \quad Z,Z',D$$`
--

- Y por el supuesto 1:

`$$Y_i(D_i)=Y_i(Z,D)$$`
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# Más supuestos

**Supuesto 4**: el efecto causal promedio de `$Z$` sobre `$D$` es distinto de cero

- Esto es, `$E(D_i(1)-D_i(0))\neq0$`

- En otras palabras, la asignación tiene efecto sobre el cumplimiento

**Supuesto 5**: monotonicidad

`$$D_i(1)\geq D_i(0) \quad \forall\quad i=1,\ldots N$$`
- Este supuesto simplemente dice que no hay un individuo que:

- Cuando se le asigna, no cumple
  - Cuando no se le asigna, cumple
  
- Noten que este supuesto se debe pensar en términos contrafactuales

- A un individuo que no cumple cuando se le asigna y cumple cuando no se le asigna se le conoce como **retador** o *defier*

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# Variable instrumental

- `$Z$` es una **variable instrumental** para el efecto causal de `$D$` sobre `$Y$` si se cumplen los supuestos 1 al 5

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# Interpretación del estimador de VI

- Comencemos escribiendo el efecto causal de `$Z$` en `$Y$`, que por el supuesto de exclusión de `$Z$` es:

$$
`\begin{aligned}
Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0))=\underbrace{Y_i(D_i(1))-Y_i(D_i(0))}_{A} \\
\end{aligned}`
$$

- Notemos que el lado derecho, `$A$`, puede calcularse siguiendo la notación de resultados potenciales:

$$
`\begin{aligned}
Y(D)&=Y(0)+D(Z)(Y(1)-Y(0)) \\
D(Z)&=D(0)+Z(D(1)-D(0))\\
\end{aligned}`
$$
--

- Sustituyendo `$D$` en `$Y$`:

$$
`\begin{aligned}
Y(D(Z))&=Y(0)+(D(0)+Z(D(1)-D(0)))(Y(1)-Y(0)) \\
&=Y(0)D(0)(Y(1)-Y(0))+Z(D(1)-D(0))(Y(1)-Y(0))
\end{aligned}`
$$

---

# Interpretación del estimador de VI

- Podemos evaluar entonces los dos valores de `$Z$` y obtener:

$$
`\begin{aligned}
Y(D(1))&=Y(0)+D(1)(Y(1)-Y(0)) \\
Y(D(0))&=Y(0)+D(0)(Y(1))-Y(0) \\
\end{aligned}`
$$
--

- Y entonces:

$$
`\begin{aligned}
A&=Y_i(D_i(1))-Y_i(D_i(0)) \\
&=(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0))\\
\end{aligned}`
$$

- Es decir, el efecto causal de `$Z$` sobre `$Y$` para `$i$` es el producto del efecto causal de `$D$` sobre `$Y$` y del efecto causal de `$Z$` sobre `$D$`:

$$
\underbrace{Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0))}_B=(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0))
$$

---

# Interpretación causal del estimador de VI

- Consideremos ahora `$B$` y obtengamos el valor esperado:

$$
`\begin{aligned}
E(Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0)))&=E(Y_i(1)-Y_i(0))(D_i(1)-D_i(0))\\
&=E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)P(D_i(1)-D_i(0)=1)\\
&+E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=0)P(D_i(1)-D_i(0)=0)\\
&+E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=-1)P(D_i(1)-D_i(0)=-1)\\
\end{aligned}`
$$
--

- La intuición de este valor esperado es obtener el efecto en la variable de interés bajo los distintos posibles efectos de `$Z$` sobre `$D$`

- El segundo término de la suma es cero y corresponde a aquellos para quienes la asignación no modificó el cumplimento, por lo que `$E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=0)=0$`

- Usando el supueto 5 de monotonicidad, sabemos `$D_i(1)-D_i(0)$` es igual a uno o cero, es decir, `$P(D_i(1)-D_i(0)=-1)=0$`

---

# Interpretación causal del estimador de VI

- Por tanto:

$$
`\begin{aligned}
E(Y_i(1,D_i(1))-Y_i(0,D_i(0)))=E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)P(D_i(1)-D_i(0)=1)
\end{aligned}`
$$
--

- Es decir, el efecto causal promedio de `$Z$` sobre `$Y$` es igual al producto del efecto causal promedio de `$D$` sobre `$Y$` en aquellos individuos que cuando se les asigna cumplen y cuando no se les asigna no cumplen, `$D_i(0)=0$` y `$D_i(1)=1$`, y la proporción de estos individuos en la población

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# Interpretación causal del estimador de VI

**Proposición 1 en Angrist, Imbens & Rubin (1996)**: interpretación causal del estimador de VI

- Si los supuestos 1 a 5 se cumplen, el estimador de VI es:

`$$E(Y_i(1)-Y_i(0)|D_i(1)-D_i(0)=1)=\frac{E(Y_i(D_i(1),1))-Y_i(D_i(0),0)}{E(D_i(1)-D_i(0)}=\lambda_{LATE}$$`

- Angrist y coautores llaman a este parámetro el **efecto local promedio del tratamiento** o *LATE*

- El LATE es el efecto causal promedio del tratamiento en un conjunto de individuos cuyo estatus de tratamiento puede ser modificado por la asignación aleatoria

- A estos individuos se les conoce como **cumplidores** o *compliers*

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# Tipos de individuos

- Hay cuatro tipos de individuos:

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# Tipos de individuos

- Los cumplidores cumplen con el tratamiento si se les asigna y no lo cumplen si no se les asigna

- `$Z$` es independiente de `$D$` para los nunca cumplidores y los siempre adoptadores y el efecto causal es 0 para ambos

- Los retadores hacen lo contrario a lo que les es asignado

- El supuesto de monotonicidad descarta la existencia de retadores para la identificación del LATE
  - En la práctica, esperamos que sean pocos tal que podamos ignorarlos

- A la suma de nunca cumplidores, siempre adoptadores y retadores se le conoce como **no cumplidores**

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# LATE y TT

- En general el LATE y el TT (TOT o ATET) difieren

- Pero recordemos que `$TT=E(y_{1i}-y_{0i}|D_i=1)$`

- Noten que en el conjunto con `$D_i=1$` se encuentran los cumplidores y los siempre adoptadores

- Si podemos asegurar que no hay siempre adoptadores, el LATE y el TT son iguales

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# Resumiendo

- Hemos mostrado que el efecto promedio de `$Z$` sobre `$Y$` es proporcional al efecto de `$D$` sobre `$Y$` para los cumplidores

- Por el supuesto 4, sabemos que la proporción de cumplidores es igual al efecto de `$Z$` sobre `$D$`

- Dado que `$Z$` se asigna aleatoriamente, podemos estimar los dos ITT por separado para obtener `$\lambda=\frac{ITT_Y}{ITT_D}$`

- En la práctica de evaluación recurrimos a la econometría con variables instrumentales

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# Variables instrumentales y LATE
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# Terminología

- **Primera etapa**: es el efecto causal de la asignación sobre el cumplimento

`$$\phi=E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)$$`
- **Forma reducida**: es la diferencia en `$y$` entre grupos de asignación

`$$\rho=E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)$$`
- **LATE**: es la diferencia en `$y$` entre a quienes se les asigna el tratamiento y quienes no, dividida por la diferencia en cumplimiento entre a quienes se les asigna el tratamiento y quienes no

`$$\lambda_{LATE}=\frac{\rho}{\phi}$$`

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# Variables instrumentales en investigación criminológica

- Angrist (2006) estudia un experimento bastante particular: aleatorizar la respuesta policíaca

- ¿En qué consistió la intervención?

- `$y_i$`: tasa de reincidencia en conductas de violencia doméstica

- `$Z_i=\begin{cases} 1\quad \text{si apercibido} \\ 0\quad \text{otro caso}\ \end{cases}$`

- Se muestra como el ITT puede no reflejar la efectividad de la intervención debido al efecto de *dilusión* provocado, en este caso, por desviaciones con respecto a la forma de enfrentar un episodio policíaco

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# Diferencias en las respuestas efectivas

<div style="border: 1px solid #ddd; padding: 0px; overflow-y: scroll; height:60%; "><table class=" lightable-paper lightable-hover" style='font-family: "Arial Narrow", arial, helvetica, sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto;border-bottom: 0;'>
 <thead>
<tr><th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="4"><div style="TRUE">Tratamiento asignado y recibido en casos de violencia doméstica</div></th></tr>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">Tramiento recibido:</div></th>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> Arrestado </td>
   <td style="text-align:center;"> Apercibido </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Tratamiento asignado: </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> Total </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Arrestar </td>
   <td style="text-align:center;"> 98.91 (91) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1.09 (1) </td>
   <td style="text-align:center;"> 29.3 (92) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Apercibir </td>
   <td style="text-align:center;"> 20.27 (45) </td>
   <td style="text-align:center;"> 79.73 (177) </td>
   <td style="text-align:center;"> 70.7 (222) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Total </td>
   <td style="text-align:center;"> 43.1 (136) </td>
   <td style="text-align:center;"> 56.69 (178) </td>
   <td style="text-align:center;"> 100 (314) </td>
  </tr>
</tbody>
<tfoot><tr><td style="padding: 0; " colspan="100%">
<span style="font-style: italic;">Nota:</span> <sup></sup> Adaptado de la tabla 1 en Angrist (2006).</td></tr></tfoot>
</table></div>

- En el estudio original, lo que llamamos *apercibir* tuvo en realidad dos componentes: *aconsejar* y *separar*, pero para facilitar el análisis usaremos solo *arrestar* por un lado y *apercibir* por el otro

- ¿Qué observamos sobre a las desviaciones con respecto al tratamiento asignado?

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# Diferencias en las respuestas efectivas

- Noten que cuando el tratamiento asignado era arrestar, efectivamente se arrestó al 98.91% de los individuos

- En cambio, noten que 20.27 % de los 222 asignados a ser apercibidos fueron en efecto arrestados

- ¿Cómo ocurre el sesgo de selección en este caso?

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# Sesgo de selección

- Algunos individuos se comportaron violentos, por lo que fueron arrestados a pesar de ser asignados a apercibimiento

- Por tanto, si comparamos `$y$` entre aquellos individuos apercibidos y no apercibidos, no tomamos en cuenta que aquellos no apercibidos (por tanto, arrestados) pudieran ser más violentos, sobrestimando el efecto de la política de apercibimiento

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# LATE

- La primera etapa es el efecto causal en la probabilidad de recibir el tratamiento de apercibimiento por el hecho de haber sido asignado a ese tratamiento: `$E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)=0.797-0.011=0.786$`
  
- La forma reducida es el efecto causal de la asignación al tratamiento sobre la tasa de reincidencia: `$E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)=0.211-0.097=0.114$`

- El ITT ignora el hecho de que algunos asignados a apercibimiento fueron arrestados

- Sabemos que el LATE está dado por `$\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{0.114}{0.786}=0.145$`

- Los datos de los autores reportan que si nos fijáramos solo en las diferencias por tipo de tratamiento obtendríamos, `$E(y_i|D_i=1)-E(y_i|D_i=0)=0.216-0.129=0.087$`, es decir, casi la mitad del LATE

- Pero como `$D$` no es aleatoria, dicha comparación no es correcta

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# La econometría del LATE

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# Motivación con un estadístico de Wald

- Pensemos en un modelo con efectos constantes de tratamiento: `$y_{1i}-y_{0i}=\lambda$`

- La variable de resultados está determinada por `$y_{0i}=\alpha+\varepsilon_i$`, donde `$\alpha=E(y_{0i})$`

- Entonces, el modelo de resultados potenciales es:

`$$y_i=\alpha+\lambda D_i+\varepsilon_i$$`
- Si `$D_i$` no es independiente de `$y_{0i}$`, es decir, `$y_{0i}$` no es independiente del error, entonces una diferencia de medias entre grupos de `$D$` no produce un estimador consistente de `$\lambda$`

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# Motivación con un estadístico de Wald

- Ahora supongamos que tenemos un **instrumento** `$z_i$` tal que `$z_i\perp y_i$`, es decir, `$E(\varepsilon_i|z_i)=0$`

- Evaluemos la esperanza de `$y_i$` cuando `$z_i=1$` y cuando `$z_i=0$`:

$$
`\begin{aligned}
E(y_i|z_i=1)&=\alpha+\lambda E(D_i| z_i=1) \\
E(y_i|z_i=0)&=\alpha+\lambda E(D_i| z_i=0) \\
\end{aligned}`
$$
- Restando:

`$$E(y_i|z_i=1)-E(y_i|z_i=0)=\lambda(E(D_i| z_i=1)-E(D_i| z_i=0))$$`

- Y despejando obtenemos

`$$\lambda=\frac{E(y_i|z_i=1)-E(y_i|z_i=0)}{E(D_i| z_i=1)-E(D_i| z_i=0)}$$`

que es conocido como un *estadístico de Wald*

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# Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

- En la práctica, podemos plantear un modelo econométrico en dos etapas:

- **Modelo estructural**

`$$y_i=X_i'\beta+\lambda D_i+\varepsilon_i$$`

- **Primera etapa**

`$$D_i=X_i'\phi_0+\phi_1z_i+\eta_i$$`
donde `$\phi_i$` es el efecto causal de la asignación sobre el cumplimiento

- Cuado `$D_i$` y `$z_i$` son ambas dicotómicas, `$\phi_1$` da la proporción de la población que son cumplidores

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# Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

- Podemos concebir el problema como uno en el que primero se estima la primera etapa y se sustituyen los valores ajustados de `$D_i$` en el modelo estructural

- Sustituyendo la primera etapa en el modelo estructural

`$$y_i=X_i'\beta+\lambda \hat{D}_i+\varepsilon_i$$`
--

- Esta es la forma de pensar el procedimiento, pero en la práctica nunca hacemos esto manualmente

- Noten que `$\hat{D}_i$` es estimada, por lo cual se ignora la variabilidad muestral de la primera etapa y los errores estándar serían inconsistentes

- Nota: el estimador de Wald es igual al estimador de MC2E cuando no hay `$X$` y cuando `$Z$` y `$D$` son binarias

---

# Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

- **Forma reducida**

$$
`\begin{aligned}
y_i&=X_i'\beta+\lambda(X_i'\phi_0+\phi_1z_1+\eta_i)+\varepsilon_i \\
&=X_i'\rho_0+\rho_1z_i+\nu_i
\end{aligned}`
$$
donde `$\rho_1=\lambda\phi_1$` es el coeficiente de forma reducida sobre la variable de asignación

- Noten que esto implica que `$\lambda=\rho_1/\phi_1$`

- Es decir, `$\lambda_{MC2E}$` puede interpretarse como la versión reescalada del coeficiente de forma reducida usando el efecto causal de la primera etapa para reescalar

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# Efectos estimados

- Regresando a los resultados del experimento, ahora con econometría

**Primera etapa**

- Versión corta:

`$$apercibido_i=\phi_0+\phi_1T_i+\eta_i$$`

- Con controles:
`$$apercibido_i=\phi_0+\phi_1T_i+X_i'\Phi +\eta_i$$`
- Noten que el 0.786 es exactamente lo que se encontraba al hacer las diferencias de medias

**Forma reducida**

- También conocido como ITT

`$$reincidencia_i=\rho_0+\rho_1T_i+\nu_i$$`

---

# Efectos estimados

<div style="border: 1px solid #ddd; padding: 0px; overflow-y: scroll; height:60%; "><table class=" lightable-paper lightable-hover" style='font-family: "Arial Narrow", arial, helvetica, sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto;border-bottom: 0;'>
 <thead>
<tr><th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="5"><div style="TRUE">Primera etapa y forma reducida</div></th></tr>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">Primera etapa</div></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">Forma reducida</div></th>
</tr>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">Variable dep.: fue apercibido</div></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">Variable dep.: reincidencia</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (1) </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (2)* </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (3) </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (4)* </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Asignado a ser apercibido (`T`) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.786 (0.043) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.733 (0.043) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.114 (0.047) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.108 (0.041) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Arma </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> -0.064 (0.045) </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> -0.004 (0.042) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Influencia químicos </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> -0.088 (0.040) </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.052 (0.038) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Media variable dep. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.567 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.567 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.178 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.178 </td>
  </tr>
</tbody>
<tfoot><tr><td style="padding: 0; " colspan="100%">
<span style="font-style: italic;">Nota:</span> <sup></sup> Tabla 2 en Angrist (2006). * Indica que se incluyen como variables de control indicadoras para año, trimestre, raza no blanca y raza mixta.</td></tr></tfoot>
</table></div>

- Habíamos obtenido antes la columna (1), pero como una diferencia de medias: `$E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)=0.797-0.011=0.786$`

- Mientras que también habíamos encontrado (3): `$E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)=0.211-0.097=0.0.114$`

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#Efectos estimados

**Efecto del tratamiento**

- Noten que con nuestro estimador de MC2E obtenemos exactamente lo que antes habíamos calculado como `$\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)}=0.145$`

- Vean que al estimar la ecuación estructural por MCO obtenemos un coeficiente cercano a 0.070

- Más aún, sabemos que el coeficiente de MCO es inconsistente

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#Efectos estimados

<div style="border: 1px solid #ddd; padding: 0px; overflow-y: scroll; height:50%; "><table class=" lightable-paper lightable-hover" style='font-family: "Arial Narrow", arial, helvetica, sans-serif; margin-left: auto; margin-right: auto;border-bottom: 0;'>
 <thead>
<tr><th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="5"><div style="TRUE">Impactos de ser apercibido en la reincidencia (MCO y LATE)</div></th></tr>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">MCO</div></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="2"><div style="TRUE">VI/MC2E</div></th>
</tr>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="1"></th>
<th style="padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; font-weight: bold; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;" colspan="4"><div style="TRUE">Variable dep.: reincidencia</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;">  </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (1) </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (2)* </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (3) </th>
   <th style="text-align:center;position: sticky; top:0; background-color: #FFFFFF;"> (4)* </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Apercibido </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.087 (0.044) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.070 (0.038) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.145 (0.060) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.140 (0.053) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Arma </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.010 (0.043) </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.005 (0.043) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Influencia químicos </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.057 (0.039) </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.064 (0.039) </td>
  </tr>
</tbody>
<tfoot><tr><td style="padding: 0; " colspan="100%">
<span style="font-style: italic;">Nota:</span> <sup></sup> Tabla 3 en Angrist (2006). * Indica que se incluyen como variables de control indicadoras para año, trimestre, raza no blanca y raza mixta.</td></tr></tfoot>
</table></div>

- Usando el estimador de MC2E obtenemos exactamente lo que antes habíamos calculado como `$\lambda_{LATE}=\frac{ITT_y}{ITT_D}=\frac{E(y_i|Z_i=1)-E(y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)}=0.145$`

- Al estimar la ecuación estructural por MCO obtenemos un coeficiente cercano a 0.070

- Pero sabemos que el coeficiente de MCO es inconsistente

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# LATE es igual ATET en este caso

- Noten que este estudio tiene lo que se conoce como *no cumplidores de un solo lado*

- Cuando la asignación es **apercibir**, en el 20.27% de los casos la acción fue arrestar y en el 79.73% efectivamente fue apercibir

- En cambio, cuando se indica **no apercibir**, es decir, arrestar, la adopción es casi perfecto (salvo un caso)

- En otras palabras, en este caso no hay **siempre cumplidores**

- No hay individuos que hayan sido *apercibidos* independientemente de la asignación

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# LATE es igual ATET en este caso

- Recordemos que el grupo de quienes reciben el tratamiento está compuesto de los cumplidores y los siempre adoptadores

- En este caso en particular:

`$$\lambda_{LATE}=E(y_{1i}-y_{0i}|C_i=1)=E(y_{1i}-y_{0i}|D_i=1)=ATET$$`
--

- Esto ocurre en los casos en que:

- Algunos de los asignados al tratmiento, `$z_i=1$` lo reciben mientras otros no
  
  - Nadie de los asignados al control, `$z_i=0$` tiene acceso al tratamiento

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# Próxima sesión

- El jueves hablaremos sobre detalles respecto a errores estándar

- MHE, Capítulo 8

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Presentación creada usando el paquete [**xaringan**](https://github.com/yihui/xaringan) en R.

El *chakra* viene de [remark.js](https://remarkjs.com), [**knitr**](http://yihui.org/knitr), y [R Markdown](https://rmarkdown.rstudio.com).

Material de clase en versión preliminar.

**No reproducir, no distribuir, no citar.**